Senin, 10 Desember 2007

Model Matematika

MODEL PEMANGSA-MANGSA
DALAM EKOSISTEM PADANG RUMPUT

Latar Belakang
Semua organisme yang hidup di alam tidak dapat hidup sendiri, melainkan harus selalu berinteraksi, baik dengan kelompoknya atau kelompok lainnya serta interaksi dengan alam (lingkungannya). Organisme hidup dalam sebuah sistem, ditopang oleh berbagai komponen yang saling berhubungan dan saling berpengaruh, baik secara langsung maupun tidak langsung. Kehidupan semua jenis makluk hidup saling mempengaruhi, dipengaruhi serta berinteraksi dengan alam membentuk satu kesatuan yang disebut ekosistem.
Salah satu bentuk interaksi dalam sebuah ekosistem adalah proses makan-dimakan (pemangsa-dimanga). Hal tersebut dikarenakan setiap organisme berusaha mempertahankan eksistensinya dengan cara mencari makanan. Organisme tersebut mendapatkan makanan langsung dari produsen (tumbuhan hijau) maupun dari organisme lainnya.
Ekosistem padang rumput misalnya, di sana terdapat tumbuhan terna (herbal) dan rumput. Hewan yang hidup di padang rumput biasanya terdiri dari bison, zebra, singa, rusa, anjing liar, serigala, serangga, kelinci, tikus dan ular . Pengamatan kita di sini terbatas pada peristiwa makan dan dimakan antara dua organisme yang berbeda sumber makanannya. Dalam ekosistem ini dapat kita ambil contoh yaitu serigala memakan kelinci. Peristiwa tersebut menunjukkan interaksi dimana serigala selalu membutuhkan mangsa (kelinci).
Dari contoh interaksi antara pemangsa dan mangsa maka dapat kita rumuskan laju pertumbuhan populasi antara kedua organisme tersebut sehingga tercapai keseimbangan dalam ekosistem itu.

Permasalahan
Dalam rantai pemangsa dengan landasan utamanya adalah tumbuhan hijau sebagai produsen. Rantai ini dimulai dari hewan herbivore sebagai konsumen I dilanjutkan dengan hewan karnivor yang memangsa herbivore sebagai konsumen II dan berakhir pada hewan omnivore sebagi konsumen III. Dalam merumuskan laju pertumbuhan populasi antara dua organisme yang berperan sebagai pemangsa dan mangsa dalam suatu ekosistem, kita dapat menelaah factor-faktor yang berperan didalammya diantaranya:
1. Keseimbangan ekosistem
Sebuah ekosistem dikatakan seimbang apabila produsen memberikan persediaan energi bagi konsumen herbivore dan konsumen herbivore memberikan persediaan energinya kepada konsumen karnivor, sehingga akan terbentuk sebuah piramida energi, dimana semakin keatas tingkat tropiknya semakin kecil. Dengan demikian dalam ekosistem yang telah seimbang jumlah pemangsa lebih sedikit daripada jumlah mangsa.
2. Jumlah Pemangsa
Jumlah pemangsa sangat tergantung pada jumlah mangsa. Dalam ekosistem yang telah seimbang jumlah pemangsa lebih sedikit dari pada jumlah mangsa. Apabila mangsa tidak ada maka laju pertumbuhan populasi pemangsa akan semakin berkurang
3. Jumlah Mangsa
Dalam sebuah ekosistem yang seimbang, jumlah mangsa lebih banyak dibandingkan dengan jumlah pemangsa. Apabila pemangsa tidak ada dalam sebuah ekosistem maka jumlah laju pertumbuhan populasi mangsa akan semakin besar. Hal itu disebabkan karena mangsa hanya tergantung kepada tumbuhan hijau yang berperan sebagai sumber energi pokok yang jumlahnya melimpah. Oleh karena itu besarnya populasi mangsa akan tergantung pada adanya proses kelahiran, kematian dan proses migrasi. Dalam keadaan normal maka pertumbuhan besarnya populasi mangsa akan proporsional terhadap waktu, atau jumlah populasi akan semakin banyak seiring berjalannya waktu. Hal ini juga berarti laju pertumbuhan populasi mangsa sebanding dengan jumlah populasi.
4. Persediaan sumber energi pokok
Dalam hal ini produsen (tumbuhan hijau) merupakan sumber persediaan energi pokok bagi konsumen yang ada dalam ekosistem itu. Hal tersebut dikarenakan produsen mempunyai sumber energi yang dapat disalurkan ke semua konsumen dalam ekosistem itu sehingga menjamin kelangsungan hidup konsumen. Keberadaan sumber energi akan menjamin kelangsungan kehidupan mangsa. Dengan demikian kelangsungan kehidupan pemangsa juga akan terjamin.
5. Pertumbuhan alami spesies pemangsa dan mangsa
Populasi mangsa dapat bertambah karena kelahiran dan berkurang karena kematian alami ataupun kematian karena pemangsa. Sedangkan populasi pemangsa dapat bertambah karena kelahiran dan kematian secara alami ataupun karena ketiadaan mangsa.
6. Jumlah pertemuan antara pemangsa dan mangsa
Jumlah pertemuan (pemangsa memakan mangsa) antara pemangsa dan mangsa sebanding dengan jumlah populasi keduanya. Dalam ekosistem tertutup apabila jumlah populasi keduanya banyak maka pemangsa akan sering memakan mangsa, dan jumlah mangsa banyak maka populasi akan lebih banyak menguasai tempat dalam ekosistem itu. Dengan demikian jika intensitas pertemuan keduanya semakin tinggi maka pertumbuhan pemangsa cenderung naik dan akan menghalangi pertumbuhan dari mangsa.


Model Nyata
1) Tanpa adanya kehadiran dari organisme pemangsa, maka pertumbuhan besar populasi hewan yang dimangsa proporsional terhadap populasinya.
2) Tanpa adanya kehadiran mangsa maka pemangsa akan mati. Dengan kata lain pertumbuhan populasi pemangsa akan menurun dan akhirnya akan habis.
3) Jumlah pertemuan antara pemangsa dan mangsa sebanding dengan jumlah populasi keduanya. Jika semakin sering bertemu maka pertumbuhan pemangsa cenderung naik dan akan menghalangi pertumbuhan dari mangsa


Model Matematika
Kita akan menandai atau menyimbolkan ukuran populasi hewan yang dimangsa adalah x, dan y adalah ukuran populasi hewan yang berperan sebagai pemangsa pada waktu tertentu, waktu kita lambangkan dengan t.
Dalam menyusun model interaksi antara pemangsa dan mangsa , kita akan menggunakan asumsi berikut ini:
1) Tanpa adanya kehadiran dari organisme pemangsa, maka pertumbuhan besar populasi hewan yang dimangsa dapat bertambah karena kelahiran dan berkurang karena kematian, maka laju pertumbuhan populasinya disajikan sebagai:
ketika y=0
dengan a: angka kelahiran spesies mangsa, b: angka kematian spesies mangsa dan x: ukuran populasi mangsa
Jika diasumsikan angka kelahiran dan kematian proporsional terhadap besarnya populasi mangsa maka persamaan diatas menjadi :
m > 0, ketika y =0, (a)
dengan m menyatakan angka pertumbuhan populasi spesies mangsa.
2) Tanpa kehadiran hewan yang dimangsa maka hewan pemangsa akan mati, maka laju pertumbuhan populasi pemangsa kita sajikan sebagai
p >0, ketika x=0 (b)
Dengan p menyatakan laju pertumbuhan spesies pemangsa dan tanda (-) menyatakan laju pertumbuhan yang mengalami penurunan.
3) Jumlah pertemuan (kontak) antara pemangsa dan mangsa sebanding dengan jumlah populasi keduanya. Setiap pertemuan (proses memangsa) akan cenderung meningkatkan pertumbuhan populasi pemangsa dan akan menghambat pertumbuhan mangsa. Dengan kata lain angka kematian spesies mangsa disebabkan karena dimakan oleh spesies pemangsa besarnya sebanding dengan jumlah pertemuan (kontak) antara populasi mangsa dan pemangsa. Sehingga angka kematian spesies mangsa yang disebabkan spesies pemangsa dinyatakan sebagai:
c = kxy ( c)
dengan c: angka kematian spesies mangsa yang disebabkan spesies pemangsa, k: pengaruh keberadaan spesies pemangsa terhadap penurunan jumlah populasi mangsa.
Sehingga laju pertumbuhan spesies mangsa dinyatakan dalam persamaan (a) dan (c) menjadi:
(d)
4) Keberadaan spesies mangsa berpengaruh terhadap pertumbuhan pemangsa, jika jumlah mangsa banyak maka akan menyebabkan kenaikan laju pertumbuhan spesies pemangsa, sehingga dapat dirumuskan sebagai:
(e)
dengan l: menyatakan pengaruh keberadaan populasi mangsa terhadap peningkatan populasi pemangsa.
Dari persamaan (d) dan persamaan (e) akan terbentuk suatu sistem persamaan differensial sebagai berikut:
m, k, p, dan l merupakan konstanta positif serta x≥0 dan y≥0.